平成3（1991）年度　共同研究実施報告書

課題番号	3−共研−34			専門分類		5
研究課題名	平面や球面の分割と、流体力学への応用
フリガナ 代表者氏名	タカギ　リュウジ 高木　隆司			ローマ字
所属機関	東京農工大学
所属部局	一般教育部
職　　名	教授
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配分経費	研究費	0千円	旅　費		0千円		研究参加者数	2　人

研究目的と成果（経過）の概要

平面や球面の分割は，幾何統計学の重要な問題である。一方，流体力学には，この問題の解析結果を応用できる現象がある。例えば，球形液滴の振動，平面流体層中の熱対流モード，等である。本研究では，これらの現象の解析に対して，幾何統計学の手法を適用して，それらのパターンの性質や，形成の機構を調べる。


前年度に引き続いて、球面上の分割の性質に関する統計学的な研究、およびその液滴振動モード解析への応用を行った。
半径１の球面を、球帽（球面上の円）でランダムに充填するときの充填率（球帽の数の細密充填数に対する比）を、数値シミュレーションによって求めた。細密充填数が２から32までについて、結果を求めたが、細密充填数が10を越えると、平面の場合充填率が0.603 に近づくことがわかった。次に、球面上に初期に与えた乱雑な点配置から、適切に設定した調節モデルを用いて、最終的な点配置をもとめた。その結果、各点のボロノイ多角形は、平均として６角形であり、５角形や７角形が少し混ざるようなパターンが得られた。点の数が11〜50の範囲で、調節モデルの結果として、最適点配置を求めた。それによれば、12個の場合は正12面体に、32個の場合は炭素の化合物Ｃ60に類似のパターンに収束することが示された。その他の場合は、多少の不規則性が残った。
水中に中立浮遊させた半径1.5cm の球形油滴に、細い棒を接触させて振動する外力を与え、共鳴して生じた基準振動を観察した。１個所で刺激した場合、振動モードは単一の球面調和関数で表すことができ、基準振動数の値は流体力学的に求めた理論値とよく一致した。２個所で刺激した場合、正多面体の構造を持つ基準振動が現れる傾向がみられた。正多面体の形が、球面調和関数の重ね合わせで表現できることを示した。共鳴振動数の実験値は、理論値とだいたい一致した。正多面体の構造が出やすいということは、上に述べた数値シミュレーションで、12個の点の最適配置がどんな初期条件から出発しても、正12面体に落ちつくことに対応していると思われる。

当該研究に関する情報源（論文発表、学会発表、プレプリント、ホームページ等）

M.Tanemura: On the density of strict random complete parking by disks.Ann.Inst.Statist.Math,to Appear (1992).
種村正美：球面における配置の問題，統計数理研究所共同研究リポート37,p.54 (1992).
Y.Arai, K.Adachi & R.Takaki : Spherical Harmonic Functions for Expression of Polyhedral Vibration of a Spherical Drop,FORMA 6 ,193 (1991).
高木隆司 ,「形の数理」朝倉書店（1992,２月）．
新井洋二,高木隆司,球形液滴の振動モードの観察 ,統計数理研究所研究会 ,「球面上の形態形成と情報処理II」 1992年１月24日．

研究会を開催した場合は、テーマ・日時・場所・参加者数を記入してください。

平面や球面の分割に関する統計的な研究は，従来まで統計数理研究所の理工学関係部門で研究されている。一方，本研究代表者（高木）は，上記のような流体力学におけるパターン形成の問題を研究してきた。ところが，乱雑なパターンを含む場合については，統計学的な処理が必要である。そこで，共同研究によって新たな成果が期待される。
共同研究においては，代表者の研究室において実験的に得られた分割パターンを基にして，ボロノイ分割との類似性などの統計的性質の計測，調整モデルによる時間発展の予測と実験との比較，等を行う。

研究参加者一覧
氏名	所属機関
種村　正美	統計数理研究所