平成15（2003）年度　一般研究２実施報告書

課題番号	15−共研−2004			専門分類		1
研究課題名	漸近展開の研究
フリガナ 代表者氏名	ヨシダ　ナカヒロ 吉田　朋広			ローマ字		Yoshida Nakahiro
所属機関	東京大学
所属部局	大学院数理科学研究科
職　　名	助教授
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配分経費	研究費	0千円	旅　費		0千円		研究参加者数	8　人

研究目的と成果（経過）の概要

確率過程に対する統計推測の漸近理論に必要な,統計量の分布の漸近展開の研究を行
った。具体的には,
1.パーシャル・ミキシング過程の漸近展開理論の研究と,その応用として,強定常
確率過程を説明変数にもつ確率回帰モデルの未知パラメータの分布の推定量の漸近展
開を導出した。この展開式の2次項は,説明変数の強従属性による非中心極限定理に
関係し,通常のT^{-1/2}乗オーダーでなく,ハースト指数に拠ったオーダーになる。
2.条件つき漸近展開とその実装。抽象的なマリアヴァン作用素が与えられた確率空
間上の汎関数に対して,渡辺理論の部分的拡張を最近行った。ジャンプ型の汎関数に
対する漸近展開および条件付漸近展開が可能となるが,本研究ではそれをフィルタリ
ング問題に適用し,計算機で展開式の計算を行うアルゴリズムを作った。
3.非同期観測データに基づく拡散係数の相関係数の推定量の構成。ファイナンスに
おいて,複数のセキュリティの確率過程のボラティリティ間の相関を推定する必要が
生じる。実際のデータはそれぞれのセキュリティが売買の起こったときに価格が観測
されることから,非同時観測時点でのデータしか得られないため,通常の2次変動型
推定量は適用できない。この問題に対して,新しい概対角型2次統計量を構成し,そ
の一致性を証明した。
4.ジャンプ型確率微分方程式の離散観測に基づくM-推定量の構成,一致性,漸近正
規性および漸近展開の導出。
5.ジャンプ型確率ボラティリティモデルに対する漸近展開。証券の対数収益率を,
レビ過程で駆動されるオルンシュタイン・ウーレンベック過程を拡散係数にもつ確率
ボラティリティモデルとして表現することが行われている。この確率ボラティリティ
モデルからの離散時間観測において,その時間間隔が大きくなれば,増分が正規分布
に従うこと(アグリゲーション・ガウシアニティ),および間隔が短くなれば,正規
分布から乖離することが知られている。この現象の説明が,その増分の分布の漸近展
開を行うことによって可能となった。筆者らが以前発表した,確率微分方程式の解と
して定義される汎関数に対する漸近展開の一般理論を適用し,漸近展開の正当性(val
idity)も証明した。このモデルの構造から,エッジワー展開の係数が陽に表現でき,
応用し易い展開式が得られた。
6.エプシロン・マルコフ過程の汎関数に対する漸近展開,退化のもとでの漸近展開,
予測域に関する論文の出版を準備した。
7.小さな拡散過程の判別分析において統計量の漸近展開を導いた。
8.小さな拡散過程のパラメトリックモデルに対する情報量規準を,漸近展開の立場
から導き,結果を公表した。これは従来の平均修正型規準と異なる一般化を含んでい
る。

当該研究に関する情報源（論文発表、学会発表、プレプリント、ホームページ等）

論文
Yoshida,N.:Conditional expansions and their applications.Stochastic Processes and their
Applications 107,53-81(2003)
Uchida,M.,Yoshida,N.:Information criteria for small diffusions via the theory of
Malliavin-Watanabe.Statist.Infer.Stochast.Process.,7,35-67(2004)
学会発表
1.Yoshida,N.:Estimation for diffusion processes with jumps:sampling and asymptotics.
DYNSTOCH 2003(May 22-24),Helsinki,Finland,2003.5.23
2.Yoshida,N.:Asymptotic expansion for stochastic differential equations with jumps and
statistical applications.University of Freiburg,Institute for Mathematical Stochastics,
2003.5.26
3.清水泰隆,吉田朋広:ジャンプ型拡散過程の離散観測からの推定について。
2003年度統計関連学会連合大会(2003年9月2日-9月5日),名城大学,2003.9.3
4.増田弘毅,吉田朋広:OU-SVMにおける汎関数の漸近展開の正当性について。2003年度統計関連学
会連合大会(2003年9月2日-9月5日),名城大学,2003.9.3
5.Yoshida,N.:Asymptotic expansion and its applications
to financial models.確率制御と数理ファイナンスに関連する最近の話題　大阪大学シグマホール
2003.11.1
6.三谷和弘,吉田朋広:Asymptotic expansions for a stochastic regression model
with a long-memory explanatory proces.科研費研究集会「漸近展開　2003」,広島国際大学国際教育
センター(平成15年12月15日〜16日),2003.12.15
7.吉田朋広:Edgeworth expansion in estimation of a stochastic differential equation with jumps
by discrete observations.科研費研究集会「漸近展開　2003」,広島国際大学国際教育センター(平成
15年12月15日〜16日),2003.12.15
8.Yoshida,N.:Partial mixing and Edgeworth expansion for stochastic processes.
Recent Developments in Nonlinear Time Series Analysis with Applications to Finance,Waseda
University,2004.1.23
9.Yoshida,N.:Statistical inference for stochastic processes:concepts and developments in
asymptotic theory.Stochastic processes and applications to mathematical finance,Ritsumeikan
University,2004.3.7
10.阪本雄二:小さな拡散過程の判別分析。科研費研究集会「漸近展開　2003」,広島国際大学国際教育
センター(平成15年12月15日〜16日),2003.12.16

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研究参加者一覧
氏名	所属機関
内田　雅之	九州大学
栗木　哲	統計数理研究所
阪本　雄二	広島国際大学
志村　隆彰	統計数理研究所
高橋　明彦	東京大学
西山　陽一	統計数理研究所
柳原　宏和	統計数理研究所