平成28（2016）年度　一般研究２実施報告書

課題番号	28−共研−2049		分野分類			統計数理研究所内分野分類			g
						主要研究分野分類			2
研究課題名	欠番のあるEulerian分布とその応用
フリガナ 代表者氏名	ツチヤ タカヒロ 土屋 高宏				ローマ字		Tsuchiya Takahiro
所属機関	城西大学
所属部局	理学部数学科
職　　名	准教授
配分経費	研究費	40千円		旅　費		56千円		研究参加者数		3　人

研究目的と成果（経過）の概要

【研究目的】
　本課題はバケットソートの変形版を基礎とする研究である．バケットソートは並べ替えるデータの取りうる値がk通りのとき，あらかじめk個の入れ物を用意するか，あるいは動的にそれを増やしながら，各々の数字に対応した入れ物にデータを入れていくアルゴリズムである．本研究の発端は，n個の連続した数字（カード）があり，あらかじめ用意する入れ物の数を決めず，最終的に必要な入れ物の数がデータの初期状態に依存する変形バケットソートを考案し，その入れ物の数を表す漸化式と離散型確率分布を導出したことにある．これまでの主要な成果として，この漸化式がEulerian数と呼ばれる数列を構成すること，Eulerian数の導出過程と離散型確率分布の導出過程の間に差異があること，得られた離散確率分布（以下，Eulerian分布）は連続一様分布にしたがう確率変数の和の分布と関連することが明らかになった．以上の研究結果を背景として，さらに研究を継続発展させる．特に，変形バケットソートを一般に拡張したときの理論を研究する．特に連番のうち番号が欠落している場合の入れ物数の離散型確率分布（欠番のあるEulerian分布）を導出する．さらに，この確率分布の統計的・代数的性質について研究し，他分野への応用を検討する．

【成果】
　変形バケットソーティング過程を一般の場合に拡張し，カードに欠番がある場合の理論構築を行った．具体的には1からnまでの数字が書かれたn枚のカードのうちm枚 (1≦m＜n) 欠番がある状況を考え，どの番号も等確率で欠番が生じるという仮定の下で，カードの入れ物数が i (1≦i≦n-m) となる離散型確率分布を漸化式の形で導出した．この成果は欧文雑誌に投稿準備中である．さらに，Eulerian分布の正規分布近似が非常に良い精度で得られることを理論的背景として，高速な正規乱数を生成するアルゴリズムを提案し，その有効性と乱数生成時間の優位性を検証した．この結果については，下記のシンポジウム[7]で口頭発表した．

当該研究に関する情報源（論文発表、学会発表、プレプリント、ホームページ等）

[1] ソーティング過程に現れる離散確率分布とその精密化 (2014)，土屋高宏，中村永友，2014年度 統計関連学会連合大会，東京大学．
[2] Eulerian distribution with a missing number (2014)，Takahiro Tsuchiya, Annual Workshop on Statistical Science and Related Topics. Josai University.
[3] Pseudo-Normal Random Number Generation via the Eulerian Numbers (2014), Nagatomo Nakamura，Annual Workshop on Statistical Science and Related Topics. Josai University.
[4] Eulerian distribution with a missing number (2015)，Takahiro Tsuchiya, Josai Mathematical Monographs 8, 73-83.
[5] Pseudo-Normal Random Number Generation via the Eulerian Numbers (2015), Nagatomo Nakamura，Josai Mathematical Monographs 8, 85-95.
[6] 離散型確率分布を通した連続型確率分布にしたがう乱数の生成 (2015)，中村永友，土屋高宏，日本計算機統計学会 第29回シンポジウム，釧路市生涯学習センター．
[7] 疑似乱数における局所一様性に関する統計的性質 (2016)，中村永友，土屋高宏，日本計算機統計学会 第30回シンポジウム，沼津市プラサヴェルデ．

研究会を開催した場合は、テーマ・日時・場所・参加者数を記入してください。

研究共同者との研究打合せは実施したが，研究会は開催していない．

研究参加者一覧
氏名	所属機関
川崎 能典	統計数理研究所
中村 永友	札幌学院大学