平成20（2008）年度　一般研究２実施報告書

課題番号	20−共研−2002		分野分類			統計数理研究所内分野分類			a
						主要研究分野分類			1
研究課題名	幾何確率および関連する統計的諸問題の研究
フリガナ 代表者氏名	イソカワ　ユキナオ 磯川　幸直				ローマ字		ISOKAWA YUKINAO
所属機関	鹿児島大学
所属部局	教育学部数学科
職　　名	教授
配分経費	研究費	50千円		旅　費		70千円		研究参加者数		2　人

研究目的と成果（経過）の概要

パイナップルの鱗の配列等、多くの葉序のパターンには、フィボナッチ数列に関連する規則性が見い出すことができる。これらのパターンに、何故フィボナッチ数列が出現するか？　この問題に対して、これまで幾種類かの説明が試みられてきた。しかし、それらの説明はなるほど興味深いものであるが、はなはだ直感的であり、厳密性に欠けるように思われる。
ところで、葉序のパターンに関しては、それを記述するいくつかの数学的モデルが、これまで研究されてきた。その中で最も単純なものが、ときおり円柱モデルと呼ばれているものである。このモデルは、円柱面に巻き付く螺旋を考え、その上に等間隔に並ぶ点列をとり、それらの点を母点とする円柱面のボロノイ分割を考える。円柱面を平面に展開することにより、n 番目の母点の位置は ( n α, n h ) であるとする。ただし、αは葉序のパターンを特徴づけるパラメータ（無理数）であり、また h は植物の成長を特徴づけるパラメターである。アラン・チューリングの示唆にしたがって、植物が成長することは、パラメータ h が減少することと考えることにする。
　共同研究では、円柱モデルにおいて、すべての母点を中心として、同じ半径の円を互いに重ならないように置くことにして、それらの円のうち最大の半径の円を問題にする。言い替えれば、円のパッキング密度の最大値 p を考える。もちろん p は α と h の関数である。このとき次の事を証明した。
「もし α が黄金比と同値な無理数であるならば、h がゼロに減少するとき、関数 p(h) はある定数 c > 0 に収束する。しかし、もし黄金比と同値でなければ、関数 p(h) の下極限は定数 c より小さくなる。」
この数学的な命題の植物学的な意味を、パイナップルの鱗を例として述べると：「パイナップルが成長するにつれて、その鱗のサイズが減少することはありえない。そこでαが黄金比と同値であるならば、隣接する鱗の間の最小距離（これは関数 p(h)で記述できる）は定数 c とほぼ同じ大きさにすることができる。しかしαが黄金比と同値でなければ、鱗の大きさは定数 c より真に小さくなければいけない。なわち、鱗の間の最小距離を最大になるのは、αが黄金比と同値であるとき、そしてそのときだけ、である（パイナップルは Max Min 原理を好む）。

当該研究に関する情報源（論文発表、学会発表、プレプリント、ホームページ等）

（１）上に述べた問題「葉序のパターンとフィボナッチ数列の関連」については
つぎの２つの学会発表を行い，またプレプリントにまとめた。
ISM Symposium “Stochastic Models and Discrete Geometry”, February 19-20, 2009 in Tokyo
　　Y.Isokawa “Voronoi Diagram generated by Fibonacci Sequence”
15th Workshop on Stochastic Geometry, Stereology, and Image Analysis, March 22-27, 2009 in
Blaubeuren (Germany)

（２）なお上に述べた問題と無関係であるが，多面体を畳み込む問題に関連して，つぎの啓蒙的な性格の論述を行った。これは，伝統折り紙『風船』の可能性（厳密な）と，多面体に関するコーシーの古典的定理，とが一見すると矛盾しているが，この矛盾をどのように解決したらよいかを示したものである。
磯川　「折り紙『風船』の秘密」　鹿児島大学教育学部教育実践紀要 2009 年特別号

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研究参加者一覧
氏名	所属機関
種村　正美	統計数理研究所