平成21（2009）年度　一般研究２実施報告書

課題番号	21−共研−2061		分野分類			統計数理研究所内分野分類			i
						主要研究分野分類			1
研究課題名	錐計画法の諸側面に対する数理工学的研究とその応用
フリガナ 代表者氏名	オハラ　アツミ 小原　敦美				ローマ字		OHARA　ATSUMI
所属機関	大阪大学
所属部局	大学院基礎工学研究科システム科学領域
職　　名	准教授
配分経費	研究費	0千円		旅　費		0千円		研究参加者数		3　人

研究目的と成果（経過）の概要

錐計画法は, 対称錐とアフィン空間の共通集合上で線形目的関数を最小化する問題であり, 代表的な問題として半正定値計画問題と二次錐計画問題がある．制御や信号処理, 機械学習, 統計や組合せ最適化, 大域的最適化など多くの分野への応用が期待されている. 本申請課題では「モデリング・アルゴリズム・数理」の問題意識の下に, 以下の３つの話題について研究を遂行し半正定値計画法の実用面からのアプローチによる貢献を目指すとともに，情報幾何と計算複雑度を結びつける数学的理論からのアプローチによる寄与も目的としていた．
1. 半正定値計画法の統計科学や機械学習への応用
2. 悪条件の半正定値計画問題に多項式最適化問題に対する頑健なアルゴリズムの構築
3. 半正定値計画法に関する情報幾何学的理論の構築
１に関しては，非正則な標本共分散行列の正則化の問題に対して，ガウスグラフィカルモデルのアイデアを用い正定値計画法の変形として定式化する方法を提案し，海面潮位データから得られる大規模標本共分散行列を内点法アルゴリズムにより正則化できることを示した[1]．
２においては，内点法アルゴリズムで求解困難である非零な双対ギャップを持つ錐計画問題について検討し，この困難を解消する方法を新たに提案した．この研究に関連する成果は[2-6]である．
３ではこれまで得られていた半正定値計画法に対する内点法の反復回数を問題の情報幾何学的量による特徴付けをJordan代数を用いて錐計画問題に一般化した．これらの結果は次年度の学会などで公表してゆく予定である．この項目に関連する研究成果は[7]である．
　その他当該研究に関連する数理最適化・情報幾何に関連する成果として，ある種の拡散方程式解の振る舞いとq-Gauss密度関数族の情報幾何的考察をおこなった[8,9]．

当該研究に関する情報源（論文発表、学会発表、プレプリント、ホームページ等）

[1] Genta Ueno and Takashi Tsuchiya, ``Covariance regularization in inverse space,'' Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society, 135, 1133-1156 (2009).
[2] Hayato Waki, Masakazu Muramatsu and Masakazu Kojima, ``Invariance under affine transformation in semidefinite programming relaxation for polynomial optimization problems'', Pacific Journal of Optimization, 5(2009) 297--312.
[3] Hayato Waki and Masakazu Muramatsu, ``Facial reduction algorithms for conic optimization problems'', CS-09-01, Dept. of Computer Science, The University of Electro-Communications, 2009.
[4] Hayato Waki and Masakazu Muramatsu, ``A Facial Reduction Algorithm for Finding Sparse SOS Representations'', CS-09-02, Dept. of Computer Science, The University of
Electro-Communications, 2009.
[5] Masakazu Muramatsu and Hayato Waki, ``Facial Reduction Algorithm and Conic Expansion Algorithm'', ISMP 2009, Chicago, 2009.8.28.
[6] Hayato Waki and Masakazu Muramatsu, ``A Facial Reduction Algorithm for Semidefinite Programming Problems in Polynomial Optimization'', ISMP 2009, Chicago, 2009.8.28.
[7] Satoshi Kakihara, Atsumi Ohara and Takashi Tsuchiya, ``Information Geometry and Primal-Dual Interior-point Algorithms'', Research Memorandum No. 1120, The Institute of Statistical Mathematics, Tokyo, March 2010.
[8] Atsumi Ohara, ``Geometric Study for the Legendre Duality of Generalized Entropies and Its Application to the Porous Medium Equation,'' European Physical Journal B, Vol.70, 15-28 (2009).
[9] Atsumi Ohara and Tatsuaki Wada, ``Information Geometry of q-Gaussian Densities and Behaviors of Solutions to Related Diffusion Equations,'' Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, Vol.43, 035002(18pp) (2010).

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研究参加者一覧
氏名	所属機関
土谷　隆	統計数理研究所
村松　正和	電気通信大学