平成2（1990）年度　共同研究実施報告書

課題番号	2−共研−11			専門分類		1
研究課題名	離散分布とその応用に関する研究
フリガナ 代表者氏名	ヒラノ　カツオミ 平野　勝臣			ローマ字
所属機関	統計数理研究所
所属部局	統計基礎研究系
職　　名	教授
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配分経費	研究費	0千円	旅　費		0千円		研究参加者数	3　人

研究目的と成果（経過）の概要

離散分布の基礎的，総合的研究を行う。分布間の相互関係，複雑な離散分布の確率関数や積率及び確率母関数等，分布の特性量を調べる。これらを利用して母数の推測に関する統計的手法を開発し，あわせて推測手法の性質を調べる。あてはめの事例やシステムの信頼性への応用等の研究の積み重ねをねらう。


申請した研究目的，実施計画に従って共同研究が行なわれた。研究内容に興味をもった柏木宣久氏が参加した。この研究に動機づけられて安芸氏はｗａｉｔｉｎｇ ｔｉｍｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓに関するいくつかの結果をまとめたがここではふれない。４名でまとめた結果の概略は以下の通り。
Ｌｉｎｇのオーダーｋの離散分布 成功の確率ｐ（０＜ｐ＜１）を持つ大きさｎのベルヌーイ試行を〓，〓，…，〓，〓とするとき，〓の従う分布をオーダーｋのタイプＩＩの二項分布といい，〓とかく（Ｌｉｎｇ（１９８８））。ｒを正の整数とし，試行数ｎを固定しないで〓がｒの値をとるまでに要する試行数を〓とする。〓の従う分布をオーダーｋのタイプＩＩＩの負の二項分布といい，〓とかく（Ｌｉｎｇ（１９８９））。〓の分布を〓，確率生成母関数（ｐｇｆ）を〓とかく。
Ｌｉｎｇ（１９８８）は〓のｐｇｆの漸化式を与えた。我々はそれ陽の形で解いた（Ｔｈ．２．２）。この解を用いて確率関数を陽の形で与えた（Ｔｈ．２．３）。〓の漸近的性質は，ある定常過程がウィナー過程に収束する例となっている（Ｔｈ．３．１，３．２）。
〓のｐｇｆをＬｉｎｇ（１９８９）より使いやすい形で与え，分散もより単純な形で与えた。また〓はオーダーｋの幾何分布に基づく確率変数のｒ個の和として表される（Ｔｈ．４．２）。この事実は，この分布のモーメントがオーダーｋの幾何分布のモーメントから容易に求まることを示している。
ｑ→０とｒｑ→λ（＞０）を保って，ｒ→∞とすると，〓は〓に収束する（ｐ＋ｑ＝１）。この分布は平均λのポアソン分布の確率を｛ｋｊ：ｊ＝０，１，２，…｝上にとる分布である。

当該研究に関する情報源（論文発表、学会発表、プレプリント、ホームページ等）

Ｈｉｒａｎｏ，Ｋ．，Ａｋｉ，Ｓ．，Ｋａｓｈｉｗａｇｉ，Ｎ．ａｎｄ Ｋｕｂｏｋｉ，Ｈ．（１９９１），Ｏｎ Ｌｉｎｇ’ｓ ｂｉｎｏｍｉａｌ ａｎｄ ｎｅｇａｔｉｖｅ ｂｉｎｏｍｉａｌ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ｏｒｄｅｒ ｋ，ｔｏ ａｐｐｅａｒ ｉｎ Ｓｔａｔｉｓｔ．Ｐｒｏｂａｂ．Ｌｅｔｔ．１１．
Ａｋｉ，Ｓ．Ｗａｉｔｉｎｇ ｔｉｍｅ ｐｒｏｂｌｅｍｓ ｆｏｒ ａ ｓｅｑｕｅｎｃｅ ｏｆ ｄｉｓｃｒｅｔｅ ｒａｎｄｏｍ ｖａｒｉａｂｌｅｓ
（統計学関係の雑誌に投稿中）

研究会を開催した場合は、テーマ・日時・場所・参加者数を記入してください。

解析の複雑な離散分布を調べるうえで，分布が定義される確率構造から確率関数，積率，確率母関数等の漸化式を知ることは極めて有効である。数式処理を利用することも可能である。離散分布全体の鳥かんするために総覧する。これは他の分布との相互関係や，分布の拡張等に有効である。焦点をこれらに置いて作業をすすめる。研究参加者はオーダーｋの離散分布の研究を組織的に共同で行っており，その発展性からも共同研究を継続することが望まれている。

研究参加者一覧
氏名	所属機関
安芸　重雄	大阪大学
久保木　久孝	電気通信大学