平成23（2011）年度　一般研究１実施報告書

課題番号	23−共研−1023	分野分類		統計数理研究所内分野分類		g
				主要研究分野分類		1
研究課題名	単純化した多次元ランダムパッキングにおける漸化式
フリガナ 代表者氏名	イトウ ヨシアキ 伊藤 栄明		ローマ字		Itoh Yoshiaki
所属機関	統計数理研究所
所属部局	名誉教授
職　　名	名誉教授

研究目的と成果（経過）の概要

最密充填の問題は数学における基本的な課題のひとつであり、幾何学的な興味だけでなく、符号理論、結晶群の理論などへ応用がある。それを確率化したものとしてランダムパッキングという問題がある。1次元のランダムパッキングは路上駐車の問題ともいわれている。これを拡張した、向きをそろえた多次元のcubeの多次元cubeへのランダムパッキングにおける充填率の期待値は解析的に得ることはできないと考えられている有名な問題である。
多次元のランダムパッキングの本質を失わずに、可能なかぎり単純化し高い次元での充填率を考えるという課題を報告者は28年前に考えた(伊藤栄明、上田澄江　(1983)、Itoh and Solomon (1986))。この問題のシミュレーションよりPalastiの予想にかわる自然な予想としてべき乗則に導かれるが、証明は不可能に近いと考えられる。報告者の共同研究者であるSteklov研究所所員Moscow大学教授Nikolai Dolbilinの学生であった Alexei Poyarkov(2007)は報告者等の単純化されたランダムパッキングに興味をもち、充填率のlower boundを求めた。Poyarkovの方法は、ランダムパッキングの過程により可能なスペースがへってゆく過程を高次元cubeが退化してゆく過程としてとらえ、多次元ランダムパッキングの充填率への解析的接近への道をひらいた。
２進探索木の連続モデルとして報告者は確率逐次２分割(Sibuya and Itoh,(1987))について考えてきたがこの問題に関連した１次元片側ランダムパッキングを考えた(Itoh and Mahmoud (2003))。この問題を多次元にし、cubeの単純化した離散片隅志向ランダムパッキングを考える。この問題には、漸化式 が存在することに気付いた。本研究ではこれをもちいて充填率の期待値を解析的にもとめ漸近的挙動をしらべる。さらに片隅志向の程度を弱めてゆき、通常の多次元確率逐次充填の問題についての解析的議論の基礎としての研究を発展させる。漸化式をもちいる方法は多次元の場合不可能であると考えられてきたが、問題を単純化することにより可能である場合があり、本研究はこの方向での研究を進めてゆくものである。計算アルゴリズムの確率モデルにこの問題は関連し、この分野で発展した解析法の適用を考えた。

当該研究に関する情報源（論文発表、学会発表、プレプリント、ホームページ等）

Mathieu Dutoru Sikiric and Yoshiaki Itoh　(2011) Random sequential packing of cubes, World Scientific, London.

研究会を開催した場合は、テーマ・日時・場所・参加者数を記入してください。

研究会を開催
Seminar on
"Stochastic Models and Discrete Geometry"

On October 7, 2011
At Room D312A, The Institute of Statistical Mathematics, Tachikawa,
Tokyo

人数　20名

研究参加者一覧
氏名	所属機関
中野 純司	統計数理研究所
Hwang Hsien-Kuei	Academia Sinica, Taiwan