平成ｸｵ（1989）年度　共同研究実施報告書

課題番号	ｸｵ−共研−2			専門分類		1
研究課題名	ランダムな媒質の中の確率過程の研究
フリガナ 代表者氏名	カワヅ　キヨシ 河津　清			ローマ字
所属機関	山口大学
所属部局	教育学部
職　　名	教授
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配分経費	研究費	0千円	旅　費		0千円		研究参加者数	13　人

研究目的と成果（経過）の概要

昨年度に続いてランダムな媒質の中のランダム・ウォークについての基礎研究を行います。昨年度は一次元のランダム・ウォークとその極限として，１次元拡散過程の研究に入ったので，今年度はその一般化と精密化の研究を行う。又，多次元状態空間での問題の設定化を急ぎたい。


平成元年４月から共同研究員の方々には本テーマに沿って夫々前年度からの研究の継続をして頂き，平成２年２月１日（木）〜２月３日（土）に研究集会を本研究所に於いて開催させて頂いた。本テーマに関しては世界的に興味を持たれている研究対象であるが，残念ながら飛躍的な研究成果は得られていない。将来の問題とせざるを得なくなった点が多いが，一次元空間の回帰的な場合については完全に解明出来てしまったと言って良い結果を得た。問題は多次元空間上の確率過程について将来集中的に解決せねばならない。研究集会での講演を中心に報告させて頂く。
（１）２月１日１３：００〜１５：００ 河津によって次が報告された。
〓を独立な過程として与えたとき，ａ＞０に対して
〓
を考えるとき，〓，ｘ＞０とする。
Ｔｈｅｏｒｅｍ 〓ならば
〓 ａ．ｅ．
（２）２月１日１５：２０−１６：５０ 千代廷大造（名大理）によって
“Ｌｏｃａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ａ ｔｗｏ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ Ｒａｎｄｏｍ Ｗａｌｋ ｗｉｔｈ ａｎ ａｔｔｒａｃｔｉｖｅ ｐａｔｈ ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ”（Ｂｏｌｔｈａｕｓｅｎ）の本テーマとの関連で二次元格子上の連続時間Ｒａｎｄｏｍ Ｗａｌｋの訪問点の数の極限解析（（６）の講演と関係）の報告があった。
（３）２月２日１０：００−１２：００ 田村要造（慶応理工）によって一次元Ｒａｎｄｏｍ Ｗａｌｋ ｉｎ ｒａｎｄｏｍ ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔのｌｏｃａｌｉｚａｔｉｏｎ（河津・田村・田中）の報告があった。〓がｄｏｍａｉｎ ｏｆ ａｔｔｒａｃｔｉｏｎ ｏｆ α−ｓｔａｂｌｅ ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎに属しているとき，〓をｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔにする一次元格子点上のｒａｎｄｏｍ ｗｏｌｋ｛Ｙ（ｎ，ξ），ｎ＝０，１，２，…｝に対して次の定理が成立つ。〓（あるｓｔａｔｉｏｎａｒｙ ｐｒｏｃｅｓｓ）．但し，ψはｒｅｇｕｌａｒｌｙ ｖａｒｙｉｎｇ ｆｕｎｃｔｉｏｎ（ｅｘｐｏｎｅｎｔ α）．
（４）２月２日１：３０−３：００ 志賀徳造（東工大理）によって，Ｂｒｏｗｎｉａｎ ｅｘｃｕｒｓｉｏｎとｍｅａｓｕｒｅ ｖａｌｕｅｄ ｂｒａｎｃｈｉｎｇ ｐｒｏｃｅｓｓについて講演。ｒａｎｄｏｍ ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔの新しい研究面になると考えられる。
（５）２月２日３：２０−４：５０ 田中洋（慶応理工）によって“Ｌｅｉｙ過程のある種の時間反転について”の講演があった。ｒａｎｄｏｍ ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔでの確率過程の研究での重要な基礎になっている仕事。
（６）２月３日１０：００−１２：００ 小谷真一（東大理）によって“Ｒａｎｄｏｍ Ｗａｌｋ ｉｎ Ｒａｎｄｏｍ ｍｅｄｉａとｓｉｍｐｌｅ ｒａｎｄｏｍ ｗｏｌｋの重複度”について講演があった。多次元空間の中での重要な研究であるがＳｉｍｐｌｅ ｒａｎｄｏｍ ｗａｌｋとの比較で訪問回数の極限挙動が得られる可能性に止っている。
（７）２月３日１３：３０−１５：００ 高橋陽一郎（東大教養）によって“Ｌａｒｇｅ ｄｅｍｉａｔｉｏｎ”について，Ｃａｐａｃｉｔｙとの関連に報告があった。

当該研究に関する情報源（論文発表、学会発表、プレプリント、ホームページ等）

（１）Ｔａｎａｋａ，Ｈ．（１９８９）“Ｔｉｍｅ ｒｅｖｅｒｓａｌ ｏｆ ｒａｎｄｏｍ ｗａｌｋｓ ｉｎ ｏｎｅ−ｄｉｍｅｎｓｉｏｎ”Ｔｏｋｙｏ Ｊｏｕｒ．ｏｆ Ｍａｔｈ．ｖｏｌ．１２．ｐ．１５９−１７４．
（２）Ｔａｎａｋａ，Ｈ．（１９８９）“Ａ ｔｈｅｏｒｅｍ ｏｆ Ｐｉｔｍａｎ ｔｙｐｅ ｆｏｒ ｓｉｍｐｌｅ ｒａｎｄｏｍ ｗａｌｋｓ ｏｎ 〓”Ｔｏｋｙｏ Ｊｏｕｒ．ｏｆ Ｍｉｔｈ．ｖｏｌ．１２．ｐ．２３５−２４０．
（３）Ｋａｗａｚｕ，Ｋ．（１９８９）“Ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ ｐｒｏｃｅｓｓ ｉｎ ｒａｎｄｏｍ ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ ａｎｄ ｒｅｌａｔｅｄ ｔｏｐｉｃｓ”Ｆｉｆｔｈ Ｉｎｔ．Ｖｉｌｎｉｕｓ Ｃｏｎｆ．ｏｎ Ｐｒｏｂ．Ｔｈｅｏｒｙ ａｎｄ Ｍａｔｈ．Ｓｔａｔ．ｖｏｌ．１．ｐ．２４４−２４５．
（４）Ｋａｗａｚｕ，Ｋ．−Ｔａｍｕｒａ，Ｙ．−Ｔａｎａｋａ，Ｈ．（ｔｏ ａｐｐｅａｒ）“Ｌｏｃａｌｉｚａｔｉｏｎ ｏｆ ｏｎｅ−ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｒａｎｄｏｍ ｗａｌｋ ｉｎ ｒａｎｄｏｍ ｅｎｖｉｒｏｎｍｅｎｔ”．

研究会を開催した場合は、テーマ・日時・場所・参加者数を記入してください。

ランダムな媒質の中での確率過程のうち，ランダム・ウォークのＧｏｌｏｓｏｖの研究の一般化が相当な所迄進んでいるので，これをまとめること。又，各種過程の到達時間の分布の極限定理も得られ始めているので，これらの総覧をすること。
これらの分布が分っていないものについてはシュミレーションを行って解析を続けたい。
多次元状態空間上でのランダムな媒質について詳しく分析すること。独立同分布でないランダムな媒質との関係を具体的に研究すること。
上記の研究に際しては数理統計学と確率過程論の協力が必要であり，当研究所の清水教授との協同研究は大変重要であり，大型計算機は研究を推進してもらえるものである。

研究参加者一覧
氏名	所属機関
市原 完治	名古屋大学
内山　耕平	東京工業大学
小倉 幸雄	佐賀大学
小谷　真一	東京大学
志賀　徳造	東京工業大学
清水　良一	統計数理研究所
杉田　洋	九州大学
高橋　陽一郎	京都大学
田中　洋	慶應義塾大学
田村　要造	慶應義塾大学
千代延　大造	名古屋大学
長田　博文	東京大学