平成27（2015）年度　一般研究１実施報告書

課題番号	27−共研−1019	分野分類		統計数理研究所内分野分類		g
				主要研究分野分類		1
研究課題名	単純化した多次元ランダムパッキングにおける漸化式
フリガナ 代表者氏名	イトウ ヨシアキ 伊藤 栄明		ローマ字		Itoh Yoshiaki
所属機関	統計数理研究所
所属部局	名誉教授
職　　名	名誉教授

研究目的と成果（経過）の概要

最密充填の問題は数学における基本的な課題のひとつであり、幾何学的な興味だけでなく、符号理論、結晶群の理論などへ応用がある。それを確率化したものとしてランダムパッキングという問題がある。ランダムパッキングは自然科学、工学などにおける応用があり実験的研究、計算機シミュレーションによる研究、数学的研究、等多くの研究がある(Evans (1993)参照).
多次元のランダムパッキングの本質を失わずに、可能なかぎり単純化し高い次元での充填率を考える(伊藤栄明、上田澄江　(1983)、Itoh and Solomon (1986)、Dutour Sikiric and Itoh　(2011))。この問題のシミュレーションよりPalastiの予想にかわる自然な予想として冪乗則に導かれるが、証明は不可能に近いと考えられる。申請者の共同研究者であるSteklov研究所所員Moscow大学教授Nikolai Dolbilinの学生であった Alexei Poyarkov(2007)は申請者等の単純化されたランダムパッキングに興味をもち、充填率のlower boundを求めた。Poyarkovの方法は天才的であり、ランダムパッキングの過程により可能なスペースがへってゆく過程を高次元cubeが退化してゆく過程としてとらえ、多次元ランダムパッキングの充填率への解析的接近への道をひらいた。
２進探索木の連続モデルとして申請者は確率逐次２分割(Sibuya and Itoh,(1987))について考えてきたがこの問題に関連した１次元片側ランダムパッキングを考えた(Itoh and Mahmoud (2003))。この問題を多次元にし、cubeの単純化した離散片隅志向ランダムパッキングを考える。この問題には、漸化式 が存在する。これをもちいて充填率の期待値を解析的にもとめ漸近的挙動について論文にまとめた　(Fuchs, Hwang, Itoh, Mahmoud (2014))。漸化式をもちいる方法は通常の多次元の場合不可能であると考えられてきたが、単純化した問題を考えれば可能である場合があり、本研究はこの方向での研究を進め充填率の空間次元依存性について明らかにする。多次元ランダムパッキングの解析的研究は非常に困難であることが知られているが、極端に単純化された様々な確率モデルについて解析的に研究することにより、論文 Fuchs, Hwang, Itoh, Mahmoud (2014)　における研究さらに発展させ多次元ランダムパッキングの充填率の冪乗則解析的研究の糸口をつかもうとするものである。 多次元ランダムパッキングの研究には通常計算機シミュレーションがもちいられる。解析的接近が可能であるように問題を単純化した離散的なモデルを考え、空間の次元との関連で充填率を考える。より具体的には次の問題を考えることにより研究をすすめる。
辺の長さ1である格子を考え、格子点の上にcubeの頂点を置く、離散的な向きをそろえたランダムパッキングを考える。辺の長さのcubeNを辺のながさ2Nのcubeにランダムにつめてゆくというもっとも単純な離散的ランダムパッキングを考える。片隅充填志向という条件をいれたモデルを考えると空間の次元dとの関連で充填率の期待値の漸化式が得られる。この漸化式に基づいて充填率の次元dとの関連での漸近的挙動を調べる。この問題の解決には古典的な解析学における様々な深い性質を用いる必要があるがProf Hsien-Kuei Hwang の協力によりanalysis of alogorithms　という分野で用いられている解析的方法を適用した (Fuchs, Hwang, Itoh, Mahmoud (2014))。平成24年度はこれらの問題からえられた方法を、食物連鎖のネットワークの確率モデルに適用し、連鎖の長さの確率分布について解析することができた (Itoh adn Krapivsky (2012))が本年度はBranching random walk における極限定理を応用することによりその確率論的証明を与えた (Itoh (投稿中)。またFuchs, Hwang, Itoh, Mahmoud (2014))の方法をanalysis of alogorithms　におけるleader election 問題へ応用した (Fuchs, Hwang, Itoh (投稿中))。

当該研究に関する情報源（論文発表、学会発表、プレプリント、ホームページ等）

Fuchs, M., Hwang, H-K., Itoh, Y., Mahmoud, H.: A binomial splitting process in connection with corner parking problems, Journal of Applied Probability, 51 (2014), 971-989.

Dutour Sikiric, M. and Itoh, Y. New Results on Torus Cube Packings and Tilings Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 288, (2015), 243-246

Maruyama, K. and Itoh, Y. Diffusion on a hypersphere: application to the
Wright-Fisher model, Journal of Physics A Mathematical and Theoretical, 49, (2016) , 145203 (7pp)

Itoh, Y. Continuum Cascade Model: Branching Random Walk for Traveling Wave,
(Submitted for publication) http://arxiv.org/abs/1507.04379

Fuchs, M., Hwang, H-K. and Itoh, Y. From coin-tossing to rock-paper-scissors and beyond: A log-exp gap theorem for selecting a leader (submitted for publication)
http://arxiv.org/abs/1507.08145

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研究参加者一覧
氏名	所属機関
中野 純司	統計数理研究所
Hwang Hsien-kuei	Academia Sinica, Taiwan