平成19（2007）年度　一般研究２実施報告書

課題番号	19−共研−2001		分野分類			統計数理研究所内分野分類			a
						主要研究分野分類			1
研究課題名	Cube および Cap のランダムパッキング
フリガナ 代表者氏名	タネムラ　マサハル 種村　正美				ローマ字		Masaharu Tanemura
所属機関	統計数理研究所
所属部局	モデリング研究系
職　　名	教授
配分経費	研究費	40千円		旅　費		200千円		研究参加者数		6　人

研究目的と成果（経過）の概要

向きをそろえて辺の長さ１のcubeを辺の長さx(x > 1)のcube 型の箱に次々にランダムに詰めていくと、充填率はどれくらいになるかという問題は実用上重要な問題であり，統計モデルとしても以前から議論がなされている。これの自然な拡張問題として，球によるランダムパッキングの問題がある。これらの問題に関して、空間次元と充填率の間にはべき乗則が成り立つと考えられてきた。すなわち充填率は定数cを適当にとると次元d のc乗に比例するという予想（たとえばPalasti の予想）が立てられてきた。これらを確かめるには, 理論計算はほぼ不可能で計算機実験によるシミュレーションが必要となる。そのためには膨大な計算時間が不可欠であるが，申請者が考案したアルゴリズムが有効であることが分かった。
　cubeによる3次元ユークリッド空間のランダムパッキングの他に，torus上のcap によるランダムパッキング，d次元球面上のd-1次元cap のランダムパッキングなどが考えられ、それらについて(1)計算機実験により充填率の挙動を調べ，べき乗則の検討を行う，(2)離散幾何学的に問題を単純化して，充填率の期待値のlower bound およびupper bound を求めることを昨年度の目標とした。
　その成果として，球のランダムパッキングについてはd=2,3,4次元において計算機実験を実行した結果，べき乗則（Palasti の予想）から外れることが分かった。cubeのランダムパッキングについての離散幾何学的単純化においては，non-extendible cube packing に関してlower bound とsecond moment を求めることができた。
　本共同利用研究を契機として，昨年度は日本・ロシアのニ国間交流事業（共同研究）に応募し，平成20, 21年度の採用が決まったことも成果と考えられる。

当該研究に関する情報源（論文発表、学会発表、プレプリント、ホームページ等）

"Cube packings, second moment and holes", M.Dutour-Sikiric, Y.Itoh and A.Poyarkov, European Journal of Combinatorics, Vol.28 (2007), pp.715-725.

"On random tilings and packings of space by cubes", N.Dolbilin, Y.Itoh and A.Poyarkov, Proceedings of COE Workshop on Sphere Packing (2004), pp.70-79, Kyushu University, Fukuoka.

"Packing and Minkowski covering of congruent spherical caps on a sphere", T.Sugimoto and M.Tanemura, Proceedings of COE Workshop on Sphere Packings (2004), pp.137-166, Kyushu University, Fukuoka.

"Problems of optimal configurations on the sphere", M.Tanemura, Proceedings of COE Workshop on Sphere Packings (2004), pp.173-190, Kyushu University, Fukuoka.

"On random packing of spheres: A retrospective overview", M.Tanemura, Symmetry：Art and Science, Vol.2004(1-4), pp.250-253.

"How many facets on average can a tile have in a tiling?", N.Dolbilin and M.Tanemura, Forma, Vol.51(2006), pp.177-196.

"Packing and Minkowski covering of congruent spherical caps on a sphere for N=2, ..., 9", T.Sugimoto and M.Tanemura, Forma, Vol.51(2006), pp.197-225.

"Probabilistic analysis of maximal gap and total accumulated length in interval divison", Y.Itoh, H.Mahmoud and R.Smythe, Statistics and Probability Letters, Vol.76(2006), pp.1356-1363.

"The problem of thirteen spheres --- A proof for undergraduates", H.Maehara, European Journal of Combinatorics, Vol.28(2007), pp.1770-1778.

"On configurations of solid balls in 3-space: Chromatics numbers and knotted cycles", H.Maehara, Graphs and Combinatorics, Vol.23(2007), pp.307-329.

"How to compute the rank of Delaunay polytope", M.Dutour-Sikiric and V.Grishukin, European Journal of Combinatorics，Vol.28(2007), pp.762-773.

研究会を開催した場合は、テーマ・日時・場所・参加者数を記入してください。

ISMシンポジウム「Stochastic Models and Discrete Geometry」, 2008年3月10日−11日，統計数理研究所・新館研修室，参加者数述べ 25名

研究参加者一覧
氏名	所属機関
伊藤　栄明	統計数理研究所
Michel Deza	European Academy of Sciences
Mathieu Dutour　Sikiric	Institut Rudjer Boscovic
Nikolai Dolbilin	ロシア　Steklov Mathematical Institute
前原　闊	琉球大学