平成20（2008）年度　一般研究２実施報告書

課題番号	20−共研−2055		分野分類			統計数理研究所内分野分類			i
						主要研究分野分類			1
研究課題名	半正定値計画法の諸側面に対する数理工学的研究とその応用
フリガナ 代表者氏名	オハラ　アツミ 小原　敦美				ローマ字		ＯＨＡＲＡ　ＡＴＳＵＭＩ
所属機関	大阪大学
所属部局	大学院基礎工学研究科システム創成専攻システム科学領域
職　　名	准教授
配分経費	研究費	40千円		旅　費		50千円		研究参加者数		3　人

研究目的と成果（経過）の概要

半正定値計画法は, 正定対称行列錐上とアフィン空間の上で線形目的関数を最小化する問題であり, 制御や信号処理, 機械学習, 統計や組合せ最適化, 大域的最適化など多くの分野への応用が期待されている. 本申請課題では「モデリング・アルゴリズム・数理」の問題意識の下に, 以下の３つの話題について研究を遂行し半正定値計画法の実用面からのアプローチによる貢献を目指すとともに，情報幾何と計算複雑度を結びつける数学的理論からのアプローチによる寄与も目的としていた．
1. 半正定値計画法の統計科学や機械学習への応用
(a) 半正定値計画法の密度関数推定への応用
(b) 半正定値計画法の大規模正規分布推定への応用
2. 悪条件の半正定値計画問題に対する頑健なアルゴリズムの構築
3. 半正定値計画法に関する情報幾何学的理論の構築
１に関しては，密度関数の推定で重要な役割を果たす多項式最適化に関して成果[4]が得られた．
次に２においては，応用の実用化に際して必要となる半正定値計画法に対する内点法の頑健な実装について研究した.また求解困難な半正定値計画問題の原因を様々な観点から検討した．これについては次年度も引き続いて検討し，有効な解決策を見いだす必要がある．関連する成果は[3]である．
３では昨年度得られた，半正定値計画法に対する内点法の反復回数を問題の情報幾何学的量により特徴付ける理論的枠組みに対して，各種の数値実験を行い理論的な予測との一致を検証した．これらの結果は次年度の学会などで公表してゆく予定である．この項目に関連する研究成果は[1]である．
　その他当該研究に関連する数理最適化・情報幾何に関連する成果として，重み付き最小二乗法，層別最小二乗法に関する考察結果[2]，非加法的エントロピーに対する情報幾何的考察[5][6]を実施した．

当該研究に関する情報源（論文発表、学会発表、プレプリント、ホームページ等）

[1] R.D.C. Monteiro and T. Tsuchiya: A strong bound on the integral of the central
path curvature and its relationship with the iteration complexity of primal-dual
path-following LP algorithms. Mathematical Programming, Vol. 115, No.1 (2008),
pp. 105-149.
[2] T. Kitahara and T. Tsuchiya: An analysis of weighted least squares method and
layered least squares method with the basis block lower triangular matrix form. Research Memorandum No. 1066, The Institute of Statistical Mathematics, Tokyo,May 2008.
[3] H. Waki, H. Sugimoto, M. Kojima and M. Muramatsu: SparsePOP: a sparse semidefinite programming relaxation of polynomial optimization problems, ACM Transaction of Mathematical Software, to appear.
[4] C. Vo, M. Muramatsu, and M. Kojima: Equality based contraction of semidefinite programming relaxation in polynomial optimization, Journal of Operations Research Society of Japan, 52 (2008) 111-125.
[5] A. Ohara: Geometric study for the Legendre duality of generalized entropies and its application to the porous medium equation, European Physical Journal B, to appear.
[6] A. Ohara and T. Wada: Geometric aspects of a certain type of nonlinear diffusion equations, Proc. of the Int. Symp. on Nonlinear Theory and its Applications, 488-491 (2008).

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研究参加者一覧
氏名	所属機関
土谷　隆	統計数理研究所
村松　正和	電気通信大学