平成25（2013）年度　一般研究２実施報告書

課題番号	25−共研−2074		分野分類			統計数理研究所内分野分類			h
						主要研究分野分類			1
研究課題名	Tsallisエントロピーの幾何学と統計学
フリガナ 代表者氏名	ヘンミ マサユキ 逸見 昌之				ローマ字		Henmi Masayuki
所属機関	統計数理研究所
所属部局	データ科学研究系
職　　名	准教授
配分経費	研究費	40千円		旅　費		42千円		研究参加者数		3　人

研究目的と成果（経過）の概要

研究目的：
近年の複雑系科学の発展からベキ型分布に従う現象が数多く発見され、これを最大化エントロピー原理で説明するために、統計物理学を中心とする分野で導入されたTsallisエントロピーという概念が注目を集めている。これに関して最近、本研究の分担者らによって、情報幾何学の観点から新たな知見が得られている。例えば、この分野ではエスコート確率と呼ばれる新しい概念が重要な役割を果たすが、これがもとの確率分布の射影変換によって得られることが示され、さらにそれに基づいて、この世界で幾何学的に自然な基準(双対平坦性)から決まる統計多様体の構造が、これまでに考えられていた統計学的に自然な基準(確率測度変換に関する幾何構造の不変性)から決まる統計多様体の構造(Fisher計量とアルファ接続)と異なることが示された。このように幾何学的観点からは一定の成果が得られているが、Tsallisエントロピーに関する研究は統計物理学を動機としたものが多く、統計学的な研究は不十分である。そこで本研究では、幾何学的および物理学的な議論との関連を踏まえながら、この分野に現れるさまざまな概念の統計的意味や役割を解明することを主な目的とする。また、数学(幾何学)、物理学、統計学の観点からの問題意識を照らし合わせながら、互いに刺激を与え合うことで、有益な異分野交流となることも目指す。

研究経過：
本年度はまず、研究分担者との集中的な議論を通して、Tsallisエントロピーに関する諸問題について、(微分)幾何学的、(統計)物理学的、統計学的観点から整理を行うと共に、それぞれ関連する研究を行った。松添(分担者)と逸見(代表者)は、Tsallisエントロピーを含むもっと広い(エントロピーの)一般化について、変形指数型分布族のヘッセ構造という観点から幾何学的な研究を行い、また、和田(分担者)は、Tsallis型とは別の一般化に関する研究を行った。これらの研究から、この分野についてはTsallisエントロピーに限定せず、もっと広いクラスの(エントロピーの)一般化も含めて考えることが有益であることが示唆され、今後は、「一般化エントロピーの幾何学と統計学」として研究を継続することにした。

当該研究に関する情報源（論文発表、学会発表、プレプリント、ホームページ等）

【論文】

Matsuzoe, H. (2013)
Statistical manifolds and geometry of estimating functions,
Recent Progress in Differential Geometry and Its Related Fields,
World Scientific, 187-202（査読有）

Matsuzoe, H. and Henmi, M. (2013)
Hessian Structures on Deformed Exponential Families,
Lecture Notes in Computer Science, 8085(2013), 275-282（査読有）

Wada, T. and Suyari, H. (2013)
The kappa-Generalizations of Stirling Approximation and Multinominal
Coefficients,
Entropy 15(12), 5144-5153（査読有）

【学会発表】

2013年08月29日
Hiroshi Matsuzoe, Masayuki Henmi
「Hessian structures on deformed exponential families」
会議名：Geometric Science of Information 2013
場所：Ecole des Mines, Paris, France

2014年01月11日
松添博
「確率分布の規格化と統計多様体の射影構造」
会議名：統計多様体の幾何学とその周辺(5)
場所：北海道大学理学部

2014年02月21日
松添博
「統計多様体の一般化した共形構造とその周辺」
会議名：統計多様体の幾何学の新展開
場所：京都大学数理解析研究所

2014年1月11日
和田達明
「一般化エントロピーに基づく統計力学と情報幾何構造」
会議名：統計多様体の幾何学とその周辺 (5)
場所：北海道大学理学部

2014年2月21日
和田達明
「一般化エントロピーに基づく統計力学の拡張とその情報幾何構造」
会議名：統計多様体の幾何学の新展開
場所：京都大学数理解析研究所

研究会を開催した場合は、テーマ・日時・場所・参加者数を記入してください。

特になし

研究参加者一覧
氏名	所属機関
松添 博	名古屋工業大学
和田 達明	茨城大学