平成162004)年度 一般研究2実施報告書

 

課題番号

16−共研−2004

専門分類

1

研究課題名

レヴィ過程で駆動される確率過程の統計的推測

フリガナ

代表者氏名

ウチダ マサユキ

内田 雅之

ローマ字

Uchida Masayuki

所属機関

九州大学

所属部局

大学院数理学研究院

職  名

助教授

所在地

TEL

FAX

E-mail

URL

配分経費

研究費

0千円

旅 費

0千円

研究参加者数

5 人

 

 

 

研究目的と成果(経過)の概要

研究目的
(i)レヴィ過程で駆動されるジャンプ型マルコフ過程のミキシング係数が,例えば指数的,または多項
式的に,特定の速さをもって減少するための明確な十分条件を与える。特に,確率微分方程式(SDE)で
記述されるジャンプ型マルコフ過程について考察する。
(ii)非確率的な微分方程式を確率的に摂動した確率過程に対し,摂動される前の非確率的なものとのq
次平均(q>0)の意味での誤差が最も小さくなるような推定量の一致性を考察する。これは最小二乗推定
量の拡張であるが,レヴィ過程は一般には分散をもたないことがあり,この理由でqが2より小さい場
合にも統一的に扱えるような推定量を考案する。更に,確率過程から成る汎関数の漸近展開を,Yoshida
(2003,Preprint)で整備された一般論に基づいて導出する。この為には分布のある程度の滑らかさが必
然的に要求されるため,マリアヴァン解析を介して十分条件を導出することが主研究内容となる。
(iii)駆動過程をウイナー過程とした場合(拡散過程)のモデル選択は確率過程の統計的モデリングを
考える上で非常に重要な問題である。そこで,拡散過程のモデル選択のための情報量規準を求める。
成果(経過)
(i)Meyn and Tweedie('93,Adv.In Appl.Probab.)によって整備されたマルコフ過程の安定性の一
般論を適用するために形式的な生成作用素に対して用いる判定関数のクラスを明確にして,駆動する
レヴィ過程が裾の厚い無限分解可能分布に対応している場合にも統一的に扱えるものを導入した。また
特に,重要な条件であるマルコフ過程の削減不可能性(irreducibility)のための確認しやすい十分条件
を係数の高次微分可能性などは要求しない形で導出した。[現在投稿中]
(ii-1)上記研究目的(ii)で述べたp(<2)次平均に関連した推定関数を考察した結果,その収束を示す
のに解析的困難が生じたため,高次の平均値の存在は仮定したもとで,ドリフト項の情報をより多く抽
出できると思われる標本路適合型に基づく別の推定関数を考え,対応する推定量の一致性および特定の
収束速度のもとでの緊密性のための十分条件を与えた。この推定量は幅広い駆動過程に対して適用可能
なため,より具体的なモデルにおいて,効率的な推定を行う際の初期推定量としての役割を果たすこと
ができる。異なる観測頻度に対し,最小二乗型推定量とのパフォーマンスの比較も行った[現在投稿中]
(ii-2)数理ファイナンスでその有用性が経験的に確かめられている一種の確率変動ボラティリティモ
デルにおいて,対数資産収益率の分布の高次漸近展開の正当性を導出し,任意次数までの展開係数の表
現を陽に与えた。これは長期にわたる収益率の近似的な正規性の精密化である。特性関数の衰退を示す
際,本質的にマリアヴァン解析を援用した。[Stochastic Processes Appl.に掲載予定]
(iii)拡散過程における赤池情報量規準(AIC)を求める上で最大の難所は尤度関数が明示的に求めるこ
とができない点である。しかしながら,漸近不偏の意味で尤度関数が近似できることに着目し,その近
似尤度関数に基づいた情報量規準の構成について現在研究中である。

 

当該研究に関する情報源(論文発表、学会発表、プレプリント、ホームページ等)

論文
Masuda,H.and Yoshida,N.(2005),Asymptotic expansion for Barndorff-Nielsen and Shephard's
stochastic volatility model.to appear in Stochastic Processes Appl.
Sakamoto,Y.and Yoshida,N.(2004).Asymptotic expansion formulas for functionals of ■Markov
processes with a mixing property.Ann.Inst.Statist.Math.56-3,545-597
Uchida,M.and Yoshida,N.(2004).Information criteria for small diffusions via the theory of
Malliavin-Watanabe,Statist.Infer.Stochast.Process.,7,35-67.
Uchida,M.and Yoshida,N.(2004).Asymptotic expansion for small diffusions applied to option
pricing,Statist.Infer.Stochast.Process.,7,189-223.
Uchida,M.(2004).Minimum contrast estimation for discretely observed diffusion processes with
small dispersion parameter,Bull.Inform.Cybernet.,36,35-49.
学会発表
Masuda,H.On mixing bounds for Markovian stochastic differential equations with jumps,(June 3,
2004;DYNSTOCH STATISTICAL METHODS FOR DYNAMICAL STOCHASTIC MODELS 5th
WORKSHOP,University of Copenhagen,Denmark)
Uchida,M.AIC for ergodic diffusion processes from discrete observations,(January 6,2005;
Asymptotical Statistics of Stochastic Processes V,University of Maine,Le Mans,France)
Masuda,H.Second order double Edgeworth expansion in a filtering model based on discrete data,
(January 7,2005;Asymptotical Statistics of Stochastic Processes V,University of Maine,Le Mans,
France)
プレプリント
Masuda,H.(2004).Exponential beta-mixing bound for Levy-driven stochastic differential
equations.Preprint.
Masuda,H.(2005).Simple estimators for non-linear Markovian trend from sampled data:I.
Ergodic cases.Preprint.Masuda,H.and Yoshida,N.(2005),Edgeworth expansion for a class of Levy-driven
Ornstein-Uhlenbeck-based models.Preprint.
Uchida,M.and Yoshida,N.(2005).AIC for ergodic diffusion processes from discrete observations.In
preparation.

研究会を開催した場合は、テーマ・日時・場所・参加者数を記入してください。

 

研究参加者一覧

氏名

所属機関

阪本 雄二

広島国際大学

西山 陽一

統計数理研究所

増田 弘毅

九州大学

吉田 朋広

東京大学