昭和60（1985）年度　共同研究実施報告書

課題番号	60−共研−5			専門分類		1
研究課題名	漸近展開の誤差評価
フリガナ 代表者氏名	シミズ　リョウイチ 清水　良一			ローマ字
所属機関	統計数理研究所
所属部局
職　　名	所長
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配分経費	研究費	0千円	旅　費		0千円		研究参加者数	2　人

研究目的と成果（経過）の概要

ある統計量の分布関数〓を，極限分布〓を第一近似とする漸近展開〓で近似したときの誤差〓を評価すること，すなわち，
〓
を満足する定数〓を定めることが目的である。


２つの確率変数σとＸが互いに独立でσ＞０のとき，確率変数η＝σＸの分布ＦをＸの分布Ｇのｓｃａｌｅ ｍｉｘｔｕｒｅという。σが１に近いときにはηの分布ＦはＧに近いであろう。そこで，話をもう少し精密化してＦをＧの周りで展開することを考える。
問題はこの展開を有限の項で打ち切った時の誤差の評価である。本研究では非常に広い分布のクラスである正規分布のｓｃａｌｅ ｍｉｘｔｕｒｅｓについてこれを行った。
なお，これよりさき，藤越はεがＸと独立でかつ０に近い時にＸ＋εの分布をＸの分布の周りで展開してその誤差評価を与える方法を提案し，特にＸが正規の場合にその誤差をεのモーメントを使って具体的に表現している。正規分布の特殊性の為に本研究の結果は確率１でσ≧１が成り立つ場合は，藤越のこの問題に帰着されることが分る。
さて，σが±２ｋ次までのモーメントを持つなら，ηの分布Ｆは標準正規分布Φの周りで〓の形に展開される。ただし，〓は〓のモーメントを係数とする２ｋ−３次までの奇数次のエルミート多項式の一次結合と標準正規分布の確率密度φ（ｘ）の積である。展開の誤差は〓を越えない。この結果は特性関数の反転公式を用いて得られる。スチューデントのｔ分布はこの誤差評価を適用出来る典型的な例である。
Ｆ分布は〓分布のｓｃａｌｅ ｍｉｘｔｕｒｅである。藤越はＦ分布の分布関数を〓分布の周りで直接展開し，その誤差を評価することに成功した。

当該研究に関する情報源（論文発表、学会発表、プレプリント、ホームページ等）

口頭発表：正規分布のｓｃａｌｅ ｍｉｘｔｕｒｅの近似（清水）
Ｆ分布の〓近似とその誤差評価（藤越）
いずれも日本数学会年会（昭和６１年４月）
発表予定：Ｅｒｒｏｒ Ｂｏｕｎｄｓ ｆｏｒ Ａｓｙｍｐｔｏｔｉｃ Ｅｘｐａｎｓｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ Ｓｃａｌｅ Ｍｉｘｔｕｒｅ ｏｆ ｔｈｅ Ｎｏｒｍａｌ Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎｓ

研究会を開催した場合は、テーマ・日時・場所・参加者数を記入してください。

これまで多くの統計量の分布についてその漸近展開が求められ，それらの理論的な基礎研究がなされている。とくに〓が〓あるいは〓であることが示されているが，具体的な評価（〓を求めること）は殆どなされていない。藤越はある種の多変量の分布について，誤差評価を与える方法を開発して，若干の結果を得た。清水は藤越の方法で必要とされる制約条件を解消できる，という見通しをもっており，共同で研究を行うことによって，いく分かの進歩が得られるものと期待している。３年程度の継続が必要である。

研究参加者一覧
氏名	所属機関
藤越　康祝	広島大学