メータは m，A(j)，Σでそれぞれ，次数，自己回帰係数行列およびイノベーションの分散共分散行列と呼ばれる．TIMSAC78では自己回帰係数行列の各 (i,j) 成分ごとに異なる次数を定めることができる．この場合には k 変量の自己回帰モデルには kхk 個の次数があることになる．

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TIMSAC

統計数理研究所で赤池弘次前所長を中心に開発された時系列の解析・予測・制御のためのプログラムパッケージ．Time Series Analysis and Control にちなんでつけられた．

TIMSAC，TIMSAC74，TIMSAC78，TIMSAC84の4種類がある．学術関係者は，フリーで手にいれることができる．(問い合わせ先: 統計数理研究所・統計データ解析センター)

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統計数理研究所

統計に関する数理およびその応用に関する研究を行うことを目的に設置された大学共同利用機関．1947年に文部省附置研究所として設置されたが，1985年に大学共同利用機関に改組された．(インターネットのwwwアドレス http://www.ism.ac.jp/ でアクセスすることができる．)

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定常時系列

時系列の平均や分散などの性質が時間が経過しても変化しない場合，定常であるといいその時系列を定常時系列という．一方，それらの性質が何らかの形で変化するものを非定常時系列という．

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ユール・ウォーカー法

ARモデルの係数および分散を推定するための代表的な方法．ユール・ウォーカー法で求められた推定値をユール・ウォーカー推定値という．時系列の自己共分散関数 C(k) が得られている場合，m 次のARモデルのAR係数 a(i) のユール・ウォーカー推定値は

| C(0) C(1) ・・・ C(m-1)||a(1)| |C(1)|

| C(1) C(0) ・・・ C(m-2)||a(2)| = |C(2)|

| ・・　　　・ || ・ | | ・ |

| C(m-1)C(m-2)・・・ C(0) ||a(m)| |C(m)|

の解として求められる．また，イノベーションの分散のユール・ウォーカー推定値は

　　　σ^2 = C(0) - a(1)C(1) + ・・・ + a(m)C(m)

で与えられる．

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尤度

統計的モデルのパラメータの推定のために用いられる統一的な規準．モデルの密度関数 f(y|θ) と N 個の独立な観測値 y(1),・・・,y(n) が与えられるとき，このモデルの尤度は

L(θ) = f(y(1)|θ)・・・f(y(1)|θ)

で定義される．尤度の対数値 l(θ) = log L(θ) は対数尤度と呼ばれる．

文献

Akaike, H. (1969), "Fitting autoregressive model for prediction," Annals of the Institute of Statistical Mathematics, Vol.~21, 243--247.

Akaike, H. (1973), "Information theory and an extension of the maximum likelihood principle," 2nd International Symposium on Information Theory, B. N. Petrov and

F. Caski, eds., Akademiai Kiado, Budapest, 267--281.

(Breakthroughs in Statistics, Volume 1: Foundations and Basic Theory, S. Kotz and N. L. Johnson, eds., Springer-Verlag,New York, (1992) 610--624.に再録されている)

Akaike, H. (1980), "Likelihood and Bayes procedure," Bayesian Statistics, J. M. Bernardo, M. H. de Groot, D. V. Lindley and A. F. M. Smith, eds., University Press, Valencia, Spain, 143--166.

赤池弘次, 中川東一郎 (1972), ダイナミックシステムの統計的解析と制御, サイエンス社, 東京.

赤池弘次，北川源四郎編 (1994,1995)，時系列解析の実際I,II，朝倉書店，東京

尾崎統 (1988), 時系列論, 放送大学教育振興会, 東京.

Kitagawa, G. and Gersch, W. (1996), "Smoothness Priors Analysis of Time Series", Springer-Verlag, New York.

北川源四郎 (1993), FORTRAN77時系列解析プログラミング, 岩波書店, 東京.

坂元慶行, 石黒真木夫, 北川源四郎 (1983), 情報量統計学,共立出版, 東京.
\exp \{-2 ikf\

を周波数応答関数と呼ぶ．周波数応答関数は複素数で

H(f) = α(f)exp{iφ(f)}

という形に表現できる．このとき α(f) を振幅，φ(f) を位相と呼ぶ．

　周波数応答関数とスペクトルの間には

p_{yy}(f) = H(f)p_{yx}(f) = |H(f)|^2 p_{xx}(f)

という関係がある．

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スペクトル

定常時系列 y(n) の自己共分散関数 C(k), k=0,1,... のフーリエ変換

p(f) = \sum_{k=-\infty^{\infty C_k \exp \{-2 ikf\

をパワースペクトル(正式にはパワースペクトル密度関数)という．

時系列がARモデル

y(n) = a(1)y(n-1)+...+a(m)y(n-m) + v(n), v(n)～N(0,σ^2 )

で表される場合には，パワースペクトルは

p(f) = σ^2/|1-a(1)exp{-2πif} - ・・・- a(m)exp{-2πimf}|^2

で与えられる．

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相互共分散関数

ふたつの定常時系列y(n)とx(n)についてy(n)と時刻をkだけシフトした系列x(n-k)との共分散

C_{yx}(k) = 1/N {(y(k+1)-μ(y))(x(1)-μ(x))+ ・・・+ (y(k+1)-μ(y))(x(1)-μ(x))}

を k の関数とみなしたものを相互共分散関数と呼ぶ．ただし，μ(y)と μ(x) はそれぞれ y(n) と x(n) の平均である．

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相互相関関数

定常時系列 y(n) と時刻を k だけシフトした別の定常時系列 x(n-k) との相関係数を k の関数とみなしたものを相互相関関数と呼び，R_{yx}(k)と表す．R_{yx}(k) は相互共分散関数 C_{yx}(k) と y(n)とx(n) の分散 C_{yy}(0) と C_{xx}(0) を用いて

R_{yx}(k) = C_{yx}(k)/{C_{yy}(0)C_{xx}(0)}^{1/2}

と表すことができる．

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多変量ARモデル

多変量時系列の値を過去の観測値の加重平均を用いて表現するモデル

y(n) = A(1)y(n-1)+ ・・・ +A(m)y(n-m) + v(n)

を多変量自己回帰モデル(MultivariateまたはVector Autoregressive model，MARモデル，VARモデル)と呼ぶ．v(n) は時系列の過去の値 y(n-j) とは独立な平均ベクトル0, 分散共分散行列 Σ の多変量正規白色雑音である．ARモデルを特徴づけるパラメータは m，A(j)，Σでそれぞれ，次数，自己回帰係数行列およびイノベーションの分散共分散行列と呼ばれる．TIMSAC78では自己回帰係数行列の各 (i,j) 成分ごとに異なる次数を定めることができる．この場合には k 変量の自己回帰モデルには kхk 個の次数があることになる．

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TIMSAC

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統計数理研究所

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定常時系列

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ユール・ウォーカー法

| C(0) C(1) ・・・ C(m-1)||a(1)| |C(1)|

| C(1) C(0) ・・・ C(m-2)||a(2)| = |C(2)|

| ・・　　　・ || ・ | | ・ |

| C(m-1)C(m-2)・・・ C(0) ||a(m)| |C(m)|

の解として求められる．また，イノベーションの分散のユール・ウォーカー推定値は

　　　σ^2 = C(0) - a(1)C(1) + ・・・ + a(m)C(m)

で与えられる．

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尤度

L(θ) = f(y(1)|θ)・・・f(y(1)|θ)

で定義される．尤度の対数値 l(θ) = log L(θ) は対数尤度と呼ばれる．

文献

Akaike, H. (1969), "Fitting autoregressive model for prediction," Annals of the Institute of Statistical Mathematics, Vol.~21, 243--247.

Akaike, H. (1973), "Information theory and an extension of the maximum likelihood principle," 2nd International Symposium on Information Theory, B. N. Petrov and

F. Caski, eds., Akademiai Kiado, Budapest, 267--281.

(Breakthroughs in Statistics, Volume 1: Foundations and Basic Theory, S. Kotz and N. L. Johnson, eds., Springer-Verlag,New York, (1992) 610--624.に再録されている)

Akaike, H. (1980), "Likelihood and Bayes procedure," Bayesian Statistics, J. M. Bernardo, M. H. de Groot, D. V. Lindley and A. F. M. Smith, eds., University Press, Valencia, Spain, 143--166.

赤池弘次, 中川東一郎 (1972), ダイナミックシステムの統計的解析と制御, サイエンス社, 東京.

赤池弘次，北川源四郎編 (1994,1995)，時系列解析の実際I,II，朝倉書店，東京

尾崎統 (1988), 時系列論, 放送大学教育振興会, 東京.

Kitagawa, G. and Gersch, W. (1996), "Smoothness Priors Analysis of Time Series", Springer-Verlag, New York.

北川源四郎 (1993), FORTRAN77時系列解析プログラミング, 岩波書店, 東京.

坂元慶行, 石黒真木夫, 北川源四郎 (1983), 情報量統計学,共立出版, 東京.
\exp \{-2 ikf\

を周波数応答関数と呼ぶ．周波数応答関数は複素数で

H(f) = α(f)exp{iφ(f)}

という形に表現できる．このとき α(f) を振幅，φ(f) を位相と呼ぶ．

　周波数応答関数とスペクトルの間には

p_{yy}(f) = H(f)p_{yx}(f) = |H(f)|^2 p_{xx}(f)

という関係がある．

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スペクトル

定常時系列 y(n) の自己共分散関数 C(k), k=0,1,... のフーリエ変換

p(f) = \sum_{k=-\infty^{\infty C_k \exp \{-2 ikf\

をパワースペクトル(正式にはパワースペクトル密度関数)という．

時系列がARモデル

y(n) = a(1)y(n-1)+...+a(m)y(n-m) + v(n), v(n)～N(0,σ^2 )

で表される場合には，パワースペクトルは

p(f) = σ^2/|1-a(1)exp{-2πif} - ・・・- a(m)exp{-2πimf}|^2

で与えられる．

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相互共分散関数

ふたつの定常時系列y(n)とx(n)についてy(n)と時刻をkだけシフトした系列x(n-k)との共分散

C_{yx}(k) = 1/N {(y(k+1)-μ(y))(x(1)-μ(x))+ ・・・+ (y(k+1)-μ(y))(x(1)-μ(x))}

を k の関数とみなしたものを相互共分散関数と呼ぶ．ただし，μ(y)と μ(x) はそれぞれ y(n) と x(n) の平均である．

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相互相関関数

R_{yx}(k) = C_{yx}(k)/{C_{yy}(0)C_{xx}(0)}^{1/2}

と表すことができる．

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